Bei der Suche nach den Nullstellen einer stetigen Funktion
f kann man so vorgehen:
- Man ermittelt ein Intervall [a, b] mit der Eigenschaft, dass der Funktionswert f(a) der einen Intervallgrenze das entgegengesetzte Vorzeichen des Funktionswertes f(b) der anderen Intervallgrenze hat. (Dazu rechnet man z.B. die Funktion an einigen ganzzahligen Stellen aus.)
- Das Intervall [a, b] wird an einem Punkt c zwischen a und b in zwei Teilintervalle [a,c] und [c,b] geteilt (zur Wahl von c Beispiele: unten die Strategien).
- Man berechnet den Funktionswert f(c).
- Man wählt ein Teilintervall, das mit Sicherheit eine Nullstelle enthält: Das Intervall [a, c] enthält eine Nullstelle von f, wenn f(a) und f(c) verschiedene Vorzeichen haben, ansonsten enthält das Intervall [c, b] eine Nullstelle (es können jedoch auch beide Intervalle Nullstellen enthalten, das Verfahren kann aber nur eine finden). Im Fall, dass f(c) = 0 ist, endet natürlich das Verfahren mit der gefundenen Nullstelle c.
- Man fährt fort, das gefundene Intervall solange zu verkleinern, bis man eine Nullstelle direkt findet, oder bis die Intervall-Länge klein genug ist, damit man die Randpunkte als geeignete Näherungen betrachten kann; wenn also die Intervallschachtelung nicht bei einem glatten Dezimalbruch endet, bricht man sie bei Erreichen der gewünschten Genauigkeit ab.
Bricht man die Intervallschachtelung nicht ab, sondern verkleinert die Intervalle immer weiter, dann erhält man beim Grenzübergang genau eine Zahl, die in allen Intervallen liegt. Dass diese eine Nullstelle von
f ist, ist die Aussage des Zwischenwertsatzes, der weiter unten in diesem Artikel bewiesen wird.
Beispiel
Gesucht sei eine Lösung der Gleichung
x³ + 0,49x² - 0,9256x - 0,2646 = 0
oder anders ausgedrückt: Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion
f(x) = x³ + 0,49x² - 0,9256x - 0,2646.
Da die Funktion stetig ist und weil f(0) = -0,2646 < 0 und f(1) = 1+0,49-0,9256-0,2636 > 0, liegt eine Nullstelle mit Sicherheit zwischen
x=0 und
x=1, also im Intervall [0;1].
Wird nun f(0,5) = 0,5³+0,49·0,5²-0,9256·0,5-0,2646=-0,4799 < 0 berechnet, so ergibt sich das Intervall [0,5;1], da hier der Vorzeichenwechsel stattfindet.
Aus f(0,8) = 0,8³+0,49·0,8²-0,9256·0,8-0,2646 = -0,17948 < 0 ergibt sich das Intervall [0,8;1],
aus f(0,9) = 0,9³+0,49·0,9²-0,9256·0,9-0,2646 = +0,02826 > 0 ergibt sodann sich das Intervall [0,8;0,9].
Da die Nullstelle zwischen 0,8 und 0,9 liegt, wird nach dem gleichen Verfahren die zweite Nachkommastelle ermittelt. So wird die Nullstelle
x=0,88 gefunden. Die beiden anderen lassen sich nun durch Polynomdivision und anschließende Quadratische Ergänzung ermitteln.
