Es bietet sich an, den Beweis des Zwischenwertsatzes als Anwendungsbeispiel der Intervallschachtelung zu führen.

Behauptung:
Ist f: R → R in einem abgeschlossenen Intervall [a0, b0] stetig und gilt

f(a0) · f(b0) < 0 (das ist gleichbedeutend damit, dass einer der beiden Funktionswerte positiv und der andere negativ ist), dann existiert eine reelle Zahl x im offenen Intervall (a0, b0), so dass f(x) = 0, also eine Nullstelle von f.

Beweis:
Wir betrachten den Fall, dass f(a0) < 0 und f(b0) > 0. Den anderen Fall beweist man analog.

Wir führen die Intervallschachtelung mit fortgesetzter Halbierung unendlich oft durch, es sei denn, wir stoßen vorher schon auf eine Nullstelle, womit der Beweis ebenfalls erbracht wäre.

Die dadurch erhaltenen Intervalle [an, bn] haben folgende Eigenschaften:

• Die unteren Intervallgrenzen an bilden eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen:
  an ≥ an-1.
• Die oberen Intervallgrenzen bn bilden eine monoton fallende Folge reeller Zahlen:
  bn ≤ bn-1.
• Jede untere Intervallgrenze ist kleiner als die entsprechende obere Intervallgrenze:
  an < bn,
  die beiden Folgen sind also beschränkt.
• Die Voraussetzung für den jeweils nächsten Schachtelungsschritt ist erfüllt:
  f(an) < 0, f(bn) > 0.

Da der Raum der reellen Zahlen vollständig ist, folgt daraus:

• Beide Folgen (an) und (bn) konvergieren gegen eine reelle Zahl a bzw. b.

Die Intervall-Länge halbiert sich in jedem Schritt, so dass außerdem gilt:

• bn - an konvergiert gegen 0, die beiden Grenzwerte sind also gleich: a = b =: x.

Aufgrund der Konstruktion der Intervallgrenzen und der der Stetigkeit von f folgt schließlich:

• f(a) ≤ 0, f(b) ≥ 0, und damit f(x) = 0.

Der gemeinsame Grenzwert x ist also eine Nullstelle von f.
Q.E.D.