Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Punkten und Geraden als Grundobjekten.

Allgemein beschreibt Geometrie eine Menge von Punkten ohne spezifische Struktur. Eine Unterscheidung kann aufgrund der lokalen Dimensionalität einer Geometrie getroffen werden:

• Eine Kurve beschreibt eine Geometrie, die lokal eine eindimensionale Struktur besitzt.
• Eine Fläche beschreibt eine Geometrie, die lokal eine zweidimensionale Struktur besitzt.
• Ein Körper bzw. ein Volumen beschreibt eine Geometrie, die lokal eine dreidimensionale Struktur besitzt.

Es gibt nicht eine einzige Geometrie, sondern viele als Geometrie bezeichnete Systeme in der Mathematik, die jeweils ihre eigenen Axiome besitzen.

Die der Anschauung zugänglichste euklidische Geometrie macht Aussagen über Kreise, Dreiecke, die Platonischen Körper, etc.

Geometrien

Verschiedene Klassifikationen sind möglich:

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

• Geordnete Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten zwei der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Projektive Geometrie
• Affine Geometrie
• Absolute Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten vier der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Euklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat gilt.
• Nichteuklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt.

Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben (Felix Klein, Erlanger Programm):

• Projektive Geometrie, Invarianten: Punkt, Gerade.
• Affine Geometrie, zusätzliche Invarianten: Parallelität, Teilverhältnis, Flächeninhaltsverhältnis.
• Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis, Winkel.
• Kongruenzgeometrie, zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

Noch nicht einsortiert:

• Hyperbolische Geometrie

Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen der Mathematik

• Differentialgeometrie
• Vektor- und Tensorrechnung
• Analytische Geometrie
• Stochastische Geometrie
• Fraktale Geometrie
• Algebraische Geometrie
• Topologie
• Algorithmische Geometrie
• Planimetrie
• Trigonometrie
• Mathematische Kartografie
• Abbildungsgeometrie
• Integralgeometrie

Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie

• Zirkel (Gerät) und Lineal
• Geodreieck
• Computer
• Spiegeln, Verschieben, Drehen
• Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, ...
• Geometrie im Koordinatensystem mit Angabe der Kurvengleichung
• Kegelschnitte als Konstruktionsobjekte

Geometriesoftware

Interaktive Geometrieprogramme wie

• GEONExT,
• Euklid,
• Cabri-Geometre,
• Geometer"s Sketchpad,
• Cinderella,
• Z.u.L.

u.a. ermöglichen die zeichnerische Erforschung der Geometrie ohne auf eine Vorgabe festgelegt zu sein. Interaktiv bedeutet hier, dass eine einmal genau festgelegte Konstruktion erhalten bleibt, auch wenn man die Ausgangsobjekte verändert.

Zitat:

"Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619)

In den frühen Hochkulturen gaben

• Landvermessung,
• astronomische Beobachtungen und
• der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken

erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen.

Es mussten

• Winkel gemessen und konstruiert,
• Flächen- und Rauminhalte berechnet

werden.

Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie zum Beweis algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. "Die Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreickslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.

• Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie und
• im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
• Das 19. Jh. bringt wieder eine stärkere Hinwendung zur klassischen Geometrie. Das euklidische Parallelenpostulat wird durch Angabe nichteuklidischer Geometrien abgeändert. Es werden die Klassische Probleme Der Antiken Mathematik (Quadratur des Kreises, Würfelverdopplung, Dreiteilung des Winkels) mit algebraischen Methoden gelöst.

In der Topologie, der Graphentheorie und der algebraischen Geometrie werden Methoden der Geometrie mit anderen Zweigen der Mathematik verknüpft.

Im 20. Jh. wird die Geometrie durch moderne Axiomensysteme neu begründet. Durch die fraktale Geometrie wurde es möglich, auch natürliche Gegenstände wie Bäume, Berge oder Wolken geometrisch zu modellieren.

Die Darstellende Geometrie ist in Gestalt der Computersimulation zu einem wichtigen Hilfsmittel in vielen Bereichen unseres Lebens geworden.